Elektrotechnik-Theorie
Die Gesetze hinter der Praxis: Gleichstrom und Netzwerkanalyse, Felder, Spulen und Trafos, Wechselstrom und komplexe Rechnung, Leistung und Drehstrom, Schaltvorgänge und Signalleitungen. Mit Rechnern für Ohm, Teiler, Impedanz und Zeitkonstante.
01 / 06Start & Landkarte
Die Gesetze hinter der Praxis: Gleichstrom und Netzwerke, Felder und Trafos, Wechselstrom mit komplexer Rechnung, Leistung und Drehstrom, Schaltvorgänge und Signalleitungen. Für alle, die rechnen und verstehen wollen.
Für die Praxis brauchst du das nicht. Kabel verlegen, klemmen, absichern und Projekte verkabeln steht im Modul Elektrotechnik, dort mit einer kurzen Einführung in Spannung, Strom und Leistung. Hier geht es tiefer.
Landkarte
🔋Gleichstrom & Netzwerke
Einheiten, Vorsätze, E-Reihen, Ohm, Reihe und Parallel, Teiler, Kirchhoff, Thévenin
🧲Felder, Spulen & Trafos
E- und B-Feld, Induktion, Sättigung, Kerne, Transformator, Ferritperlen
〰️Wechselstrom
Effektivwert, Zeiger, Impedanz, komplexe Rechnung, Ortskurven
⚡Leistung & Drehstrom
Wirk-, Blind-, Scheinleistung, Kompensation, Stern und Dreieck
📉Schaltvorgänge & Signalleitungen
RC, RL, Schwingkreis, Einschaltstrom, Skin-Effekt, Wellenwiderstand
Grundlage
- Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1 & 2, Pearson Studium.
- MIT OpenCourseWare 6.002, Circuits and Electronics.
- All About Circuits, Textbook.
02 / 06Gleichstrom & Netzwerke
Der Gleichstromkreis ist 80 % der Elektronik im Alltag. Sieben Basisgrößen, zwei Kirchhoff-Gesetze und das Ohmsche Gesetz reichen für fast jede Schaltung. Der Rest ist Buchhaltung. Wer Vorsätze und Thévenin sicher beherrscht, spart sich die Hälfte aller Rechen- und Denkfehler.
Größen, Einheiten, Vorsätze
| Größe | Zeichen | Einheit | Definition | Anschauung |
|---|---|---|---|---|
| Ladung | Q | Coulomb (C) = A·s | 1 C = 6,241·1018 Elementarladungen | Die Wassermenge |
| Strom | I | Ampere (A) | I = dQ/dt | Der Durchfluss |
| Spannung | U | Volt (V) = W/A | Energie pro Ladung zwischen zwei Punkten | Der Druckunterschied |
| Widerstand | R | Ohm (Ω) = V/A | R = U/I; Leitwert G = 1/R in Siemens (S) | Die Engstelle |
| Kapazität | C | Farad (F) = C/V | C = Q/U; i = C·du/dt | Der Eimer |
| Induktivität | L | Henry (H) = V·s/A | u = L·di/dt | Die Schwungmasse |
| Leistung / Energie | P / W | Watt (W) / Joule (J) | P = U·I; W = P·t; 1 Wh = 3600 J | Tempo / Rechnung am Monatsende |
| Frequenz | f / ω | Hertz (Hz) / 1/s | f = 1/T; ω = 2π·f | Wiederholungen pro Sekunde |
| Magn. Fluss / Flussdichte | Φ / B | Weber (Wb) / Tesla (T) | u = −dΦ/dt; B = Φ/A | Was durch die Spule geht |
| Elektrische Feldstärke | E | V/m | E = U/d im Plattenfeld | Steilheit des Spannungsgefälles |
- Vorsätze: T 10¹² · G 10⁹ · M 10⁶ · k 10³ · m 10⁻³ · µ 10⁻⁶ (im Datenblatt oft „u“) · n 10⁻⁹ · p 10⁻¹². Die häufigste Fehlerquelle überhaupt.
- Großbuchstabe U, I: Gleichgröße oder Effektivwert · klein u(t), i(t): Momentanwert · Dach û: Scheitelwert · Unterstrich: komplexer Zeiger.
Vorsatz umrechnen
Normreihen und Konstanten
Widerstände und Kondensatoren gibt es nur in E-Reihen nach IEC 60063: logarithmisch gestufte Werte, deren Toleranzbänder lückenlos aneinanderstoßen.
| Reihe | Toleranz | Werte pro Dekade |
|---|---|---|
| E6 | ±20 % | 1,0 · 1,5 · 2,2 · 3,3 · 4,7 · 6,8 |
| E12 | ±10 % | zusätzlich 1,2 · 1,8 · 2,7 · 3,9 · 5,6 · 8,2 |
| E24 | ±5 % | zusätzlich 1,1 · 1,3 · 1,6 · 2,0 · 2,4 · 3,0 · 3,6 · 4,3 · 5,1 · 6,2 · 7,5 · 9,1 |
| E96 | ±1 % | dreistellige Werte, z. B. 4,99 kΩ statt 4,7 kΩ |
KonstanteWertWo sie auftaucht
Elementarladung e1,602176634·10⁻¹⁹ CHalbleiterphysik, Schrotrauschen
Feldkonstante ε₀8,8541878·10⁻¹² F/mPlattenkondensator, Leitungskapazität
Feldkonstante µ₀1,25663706·10⁻⁶ H/mSpulen, Wellenwiderstand
Boltzmann-Konstante k1,380649·10⁻²³ J/KThermisches Rauschen, Diodengleichung
Temperaturspannung U_T≈ 25,85 mV bei 300 KDiodenkennlinie, Bipolartransistor
Spez. Widerstand Kupfer0,0175 Ω·mm²/m (20 °C)Leitungsauslegung, Spulenwiderstand
Seit der SI-Revision 2019 sind e, k und c₀ exakt definiert; ε₀ und µ₀ sind seither Messgrößen mit winziger Unsicherheit. Formelsammlung und Einheiten hubweit: Nachschlagewerk → Formeln.
Ohmsches Gesetz, Leistung, Temperatur
U = R · I P = U · I = I²·R = U²/R Vier Größen, zwei Gleichungen: Zwei bekannte Werte reichen immer.
Ohm-Rechner: zwei beliebige Werte genügen
R(ϑ) = R₂₀ · [1 + α · (ϑ − 20 °C)] mit α_Cu ≈ 0,0039 / K Metalle werden warm hochohmiger, Halbleiter meist niederohmiger. Eine Cu-Wicklung bei 100 °C hat ~31 % mehr Widerstand. So misst man Wicklungstemperaturen ohne Sensor.
| Material | ρ bei 20 °C in Ω·mm²/m | α in 1/K | Bemerkung |
|---|---|---|---|
| Silber | 0,0159 | 0,0038 | bester Leiter, zu teuer für Leitungen |
| Kupfer | 0,0175 | 0,0039 | der Standard |
| Aluminium | 0,0282 | 0,0039 | leichter; Freileitungen, Motoren |
| Konstantan | 0,49 | ≈ 0,00004 | praktisch temperaturunabhängig → Präzisionswiderstände, DMS |
| Nickel-Chrom | 1,1 | 0,0002 | Heizwendeln |
Reihe und Parallel
Reihenschaltung
- R = R1 + R2 + …, größer als der größte Einzelwert
- Spannungen teilen sich im Verhältnis der Widerstände
- Ein Bauteil fällt aus → der ganze Zweig ist tot
Parallelschaltung
- 1/R = 1/R1 + 1/R2 + …, kleiner als der kleinste Einzelwert
- Zwei Widerstände: R = R1·R2/(R1+R2); N gleiche: R/N
- Ein Zweig fällt aus → die anderen laufen weiter
| Größe | In Reihe | Parallel |
|---|---|---|
| Strom / Spannung | I gleich, U teilt sich | U gleich, I teilt sich |
| Kondensator C | Kehrwerte addieren → kleiner | addiert sich → größer |
| Spule L | addiert sich → größer | Kehrwerte addieren → kleiner |
| Spannungsfestigkeit von C | addiert sich (2 × 25 V = 50 V) | die des schwächsten Bauteils |
| Verlustleistung | größter R wird am heißesten (I²R) | kleinster R wird am heißesten (U²/R) |
| Akkuzellen | Spannung addiert sich | Kapazität addiert sich |
Spannungsteiler und Innenwiderstand
U_aus = U_ein · R2 / (R1 + R2) · U_klemme = U₀ − I · R_i Der Teiler gilt nur unbelastet, denn eine Last liegt parallel zu R2. Faustregel: Querstrom ≥ 10 × Laststrom. Jede reale Quelle hat einen Innenwiderstand R_i (Alkaline AA ≈ 150 bis 300 mΩ, Li-Ion 18650 ≈ 20 bis 80 mΩ). Deshalb bricht die Batterie unter Last ein.
Spannungsteiler mit und ohne Last
Der Klassiker: Ein Spannungsteiler ist keine Spannungsversorgung. Wer aus 12 V mit zwei Widerständen 5 V für einen Mikrocontroller macht, bekommt beim ersten Lastwechsel Reset-Schleifen. Dafür gehört ein Regler hin, siehe Linear- & Schaltregler. Teiler sind für Messsignale und Referenzen da.
Leistungsanpassung (R_Last = R_i) sinnvoll
- HF und Antennen: 50 Ω überall, Reflexionen vermeiden
- Kleinsignalübertragung, bei der jedes Mikrowatt zählt
Leistungsanpassung falsch
- Jede Energieversorgung: Wirkungsgrad wäre nur 50 %. Dort will man R_Last ≫ R_i
- Digitale Signale auf kurzen Leitungen: der Pegel zählt, nicht die Leistung
Kirchhoff und Netzwerkanalyse
Knotenregel (1. Kirchhoff)
Σ zufließende = Σ abfließende Ströme: Ladung sammelt sich nirgends an.
Maschenregel (2. Kirchhoff)
Σ aller Spannungen im Umlauf ist null. Das ist die Energieerhaltung.
- Knotenpotentialverfahren: k − 1 Gleichungen; Standard in jedem SPICE-Simulator (ngspice, LTspice, KiCad).
- Maschenstromverfahren: z − k + 1 Gleichungen; von Hand oft schneller bei wenigen Maschen und Spannungsquellen.
- Überlagerungssatz: Quellen einzeln rechnen, Ergebnisse addieren (Spannungsquellen kurzschließen, Stromquellen auftrennen). Gilt nur linear und nie für Leistungen, weil P quadratisch ist.
- Stern-Dreieck-Umwandlung: für Netze, die sich nicht in Reihe/Parallel zerlegen lassen: R₁ = R₁₂·R₃₁/(R₁₂+R₂₃+R₃₁) bzw. R₁₂ = (R₁R₂+R₂R₃+R₃R₁)/R₃.
Thévenin und die Brücke
U₀ bestimmen (Leerlaufspannung)
Last abklemmen, Spannung zwischen den Klemmen berechnen oder messen.R_i bestimmen
Spannungsquellen kurzschließen, Stromquellen auftrennen, Widerstand zwischen den Klemmen zusammenrechnen.Ersatzbild anwenden
Mit Last wird alles zur Reihenschaltung: I = U₀ / (R_i + R_Last). Beispiel belasteter Teiler (12 V, 2 × 10 kΩ, Last 10 kΩ): U₀ = 6 V, R_i = 5 kΩ → nur noch 4,0 V am Abgriff.Wheatstone-Brücke: abgeglichen bei R1/R2 = R3/R4 → U_diff = 0. Ihr Wert liegt in der Empfindlichkeit um den Nullpunkt: winzige Widerstandsänderungen werden messbar, Temperatur- und Versorgungsschwankungen fallen heraus. Anwendung in Waagen und DMS-Sensorik: Regelung & Sensorik → Messkette.
Quellen
- Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1, Kapitel Gleichstromnetzwerke und Netzwerkanalyse.
- Horowitz & Hill, The Art of Electronics, 3rd ed., Kapitel 1: Thévenin in der praktischen Anwendung.
- BIPM: SI Brochure, 9. Auflage und NIST CODATA: Einheiten und Konstanten.
- IEC 60063: Vorzugszahlenreihen für Widerstände und Kondensatoren (E-Reihen).
- All About Circuits: DC Circuits; ngspice-Dokumentation (Modified Nodal Analysis).
03 / 06Felder, Spulen & Trafos
Kondensator und Spule sind keine Bauteile, sondern gespeicherte Felder. Der Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld, die Spule im magnetischen. Daraus folgt alles: warum sich Spannung am C und Strom durch L nicht sprunghaft ändern können, und warum jede Drossel zwei Stromgrenzen im Datenblatt hat.
Das elektrische Feld
E = U / d C = ε₀ · ε_r · A / d W = ½ · C · U² E in V/m, A Plattenfläche, d Abstand, ε_r die Dielektrizitätszahl des Materials.
Was ε_r macht
Luft ≈ 1, Papier ≈ 3, Al₂O₃ (Elko) ≈ 8, Keramik X7R ≈ 2000 bis 4000. Höheres ε_r = mehr Kapazität pro Fläche, aber Klasse-2-Keramik ist stark spannungs- und temperaturabhängig.
Durchschlagsfestigkeit
Luft ≈ 3 kV/mm, FR4 ≈ 20 kV/mm, Polypropylen-Folie ≈ 200 kV/mm. Daraus folgen Luft- und Kriechstrecken, siehe Leiterplatte → Layout.
Warum U am C nicht springt
i = C·du/dt: Ein Spannungssprung bräuchte unendlichen Strom. Deshalb glättet ein Kondensator, und deshalb zieht ein großer Elko beim Einschalten einen heftigen Stromstoß.
DC-Bias-Effekt: Klasse-2-Keramik (X7R, X5R, Y5V) verliert bei anliegender Gleichspannung dramatisch Kapazität. Ein 10-µF-X5R in 0603 für 6,3 V hat bei 5 V real oft nur 2 bis 3 µF. Klasse 1 (C0G/NP0) hat den Effekt nicht, gibt es aber nur bis wenige Nanofarad. Immer die Kurve „Capacitance vs. DC Bias“ im Datenblatt ansehen.
Das magnetische Feld und die Induktion
Θ = N·I · H = Θ/l · B = µ₀µ_r·H · L = N²·µ₀µ_r·A/l · W = ½·L·I² Analogie zum Stromkreis: Durchflutung Θ ↔ U, Fluss Φ ↔ I, magnetischer Widerstand R_m ↔ R.
u_ind = −N · dΦ/dtFaraday'sches Induktionsgesetz; das Minuszeichen ist die Lenz'sche Regel: Die induzierte Spannung wirkt ihrer Ursache entgegen.
- Generator wird beim Belasten schwerer zu drehen, deshalb bremst Rekuperation.
- Relais-Abschaltspitze zerstört den Schalttransistor → Freilaufdiode, siehe Schaltvorgänge.
- Wirbelströme wirken dem Feld entgegen. Das ist der Grund für geblechte Trafokerne statt massiver Klötze.
- Kraft am Leiter: F = B·I·l. Beispiel Motor: 0,8 T, 40 mm, 5 A → 0,16 N je Leiter; 200 Leiter auf 25 mm Radius → 0,8 Nm. Details: Antriebsauslegung.
Sättigung: die Grenze jedes Kerns
Ferromagnetisches Material verstärkt das Feld um µ_r, aber nur bis zur Sättigungsflussdichte B_sat. Darüber verhält sich der Kern wie Luft: L bricht zusammen, der Strom schießt hoch. Die Flussdichte wächst mit dem Spitzenstrom (B = L·I/(N·A_e)), nicht mit dem Mittelwert.
| Kernmaterial | B_sat | Typische Frequenz | Einsatz |
|---|---|---|---|
| Elektroblech (SiFe) | 1,5 bis 2,0 T | 50 bis 400 Hz | Netztrafos, Motoren |
| Ferrit MnZn | 0,35 bis 0,5 T | 20 kHz bis 1 MHz | Schaltnetzteile, Speicherdrosseln; harte Sättigung |
| Ferrit NiZn | 0,2 bis 0,35 T | 1 bis 300 MHz | Entstördrosseln, Klappferrite |
| Eisenpulver / Sendust | 1,0 bis 1,4 T | bis ~1 MHz | weiche Sättigung, tolerant gegen Überstrom; mehr Kernverluste |
| Nanokristallin | 1,2 T | bis ~200 kHz | stromkompensierte Drosseln, hohe Permeabilität |
Ein Luftspalt im Ferritkern verschiebt die Sättigung zu höheren Strömen und senkt L. Deshalb haben Speicherdrosseln fast immer einen Spalt, Übertrager nicht.
Drosseln im Datenblatt
| Angabe | Bedeutung | Konsequenz |
|---|---|---|
| L | Nenninduktivität, meist bei 100 kHz und kleinem Strom | Bei Betriebsstrom oft schon niedriger |
| I_sat | Strom, bei dem L um 20 oder 30 % gefallen ist (Kriterium steht dabei) | Muss über dem Spitzenstrom liegen, nicht über dem Mittelwert |
| I_rms | Strom für eine bestimmte Übertemperatur, meist 40 K | Bestimmt die Erwärmung, nicht die Funktion |
| DCR | Gleichstromwiderstand der Wicklung | Direkte Verlustquelle: P = I²·DCR |
| SRF | Eigenresonanz durch Wicklungskapazität | Oberhalb verhält sich die Spule kapazitiv und ist für Filter unbrauchbar |
| Abschirmung | geschirmt / ungeschirmt | Ungeschirmte Drosseln streuen kräftig in die Nachbarschaft |
- Kupferverluste: DC über I²·DCR; AC über Skin- und Proximity-Effekt → HF-Litze, verschachtelte Wicklung.
- Kernverluste: Hysterese ≈ f·B̂^2,5 (Steinmetz), Wirbelströme ∝ f²·B̂² → kleinere Flussdichte, besseres Material.
Faustregel: Wird eine Drossel im Betrieb deutlich über 60 °C warm, stimmt etwas nicht: DCR zu hoch, Kern zu klein oder Frequenz zu hoch für das Material. Der Finger ist bei der Fehlersuche in Schaltnetzteilen erstaunlich aussagekräftig.
Transformator und Übertrager
U₁/U₂ = N₁/N₂ = ü · I₁/I₂ = N₂/N₁ · Z₁ = ü² · Z₂ Spannungen im Verhältnis der Windungszahlen, Ströme umgekehrt, Impedanzen quadratisch. Die dritte Beziehung trägt Anpassschaltungen in HF und Audio.
Netztrafo (50 Hz)
Großer Eisenkern; Verluste: Kupfer (∝ I²), Hysterese (∝ f), Wirbelströme (∝ f²·d²), Leerlaufstrom (konstant, kleine Trafos sind dauerhaft warm). Übertragbare Leistung wächst mit der Frequenz. Deshalb kommt ein 65-kHz-Schaltnetzteil mit wenigen Kubikzentimetern Ferrit aus.
Einschaltstromstoß
Remanenter Kern plus Einschalten im Nulldurchgang → kurz Sättigung, 10 bis 40 × Nennstrom (Ringkern besonders). Abhilfe: träge Sicherung (T), NTC-Begrenzer, Vorladeschaltung.
Flyback-Übertrager
Speichert Energie im Luftspalt, gibt sie in der Sperrphase ab, eigentlich zwei gekoppelte Drosseln. Die Streuinduktivität erzeugt die Spannungsspitze am Schalter: Snubber ist Pflicht.
Forward-/LLC-Übertrager
Überträgt Energie, während der Schalter leitet; kein Luftspalt, enge Kopplung, höherer Wirkungsgrad, braucht Entmagnetisierung oder Resonanzbetrieb.
Stromkompensierte Drossel
Beide Leiter gegensinnig durch denselben Kern: Nutzstrom hebt sich auf (keine Sättigung), Gleichtaktstörungen sehen die volle Induktivität. Standardbaustein im Netzeingangsfilter.
Stromwandler
Misst Wechselströme berührungslos. Bürdewiderstand nie offen lassen: An offener Sekundärwicklung entstehen lebensgefährliche Spannungen.
Ferritperlen und Parasitäten
Eine Ferritperle ist keine Induktivität, sondern ein frequenzabhängiger Widerstand: „600 Ω“ gilt bei 100 MHz, bei 10 MHz sind es vielleicht 60 Ω. Erst Störfrequenz messen, dann Perle mit Impedanzmaximum dort wählen; DCR (Spannungsabfall) und Sättigung bei Nennstrom prüfen; nicht blind in schnelle Signalleitungen setzen.
Die klassische Fehlkombination: Ferritperle plus großer Keramikkondensator ergibt einen Schwingkreis hoher Güte. Die Störung wird bei Resonanz um 10 bis 20 dB überhöht statt gedämpft. Abhilfe: 1 bis 10 Ω in Reihe zum Kondensator oder ein Elko mit ESR parallel.
| Parasit | Größenordnung | Folge |
|---|---|---|
| Leiterbahn über Massefläche | ≈ 1 pF/cm | Belastet schnelle Signale, koppelt Störungen ein |
| Leiterbahn-Induktivität | ≈ 1 nH/mm | Bei di/dt = 1 A/ns ergeben 5 mm Leitung 5 V Spitze |
| Bauteilbein THT | ≈ 5 bis 10 nH | Warum SMD bei hohen Frequenzen zwingend ist |
| Via | ≈ 0,3 bis 1,5 nH | Mehrere Vias parallel für Masseanbindung |
| Elko-ESL | ≈ 5 bis 20 nH | Deshalb immer ein kleiner Keramik parallel zum Elko |
| Steckverbinder | 2 bis 10 nH je Kontakt | Masse-Pins nicht sparen, gleichmäßig verteilen |
Quellen
- Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 2, Kapitel elektrisches und magnetisches Feld.
- Würth Elektronik, Trilogie der induktiven Bauelemente: Kernmaterialien, Sättigung, Trafoverluste; frei als PDF.
- Murata / TDK: Application Notes zu DC Bias Characteristics of MLCC und zu Ferritperlen (Impedanz über Strom).
- Colonel Wm. T. McLyman, Transformer and Inductor Design Handbook; Texas Instruments, Selecting Inductors for Buck Converters (SLVA733).
- Henry W. Ott, Electromagnetic Compatibility Engineering, Wiley: parasitäre Effekte.
04 / 06Wechselstrom & komplexe Rechnung
Bei Wechselstrom reicht eine Zahl nicht mehr, es braucht Betrag und Phase. Der Widerstand wird zur Impedanz, Kondensator und Spule verschieben Strom und Spannung gegeneinander. Das Zeigerbild macht daraus Geometrie, die komplexe Rechnung Algebra: aus d/dt wird ·jω.
Die Kennwerte einer Sinusgröße
| Kennwert | Beziehung (Sinus) | Bedeutung |
|---|---|---|
| Scheitelwert û | û = √2 · U ≈ 1,414 · U | Höchster Momentanwert; entscheidet über Spannungsfestigkeit |
| Spitze-Spitze U_ss | U_ss = 2·û | Was das Oszilloskop von Haus aus misst |
| Effektivwert U_eff | U_eff = û/√2 ≈ 0,707·û | Die Gleichspannung mit derselben Wärmeleistung; alle Netzangaben sind Effektivwerte |
| Gleichrichtwert | |U| = 2·û/π ≈ 0,637·û | Billige Multimeter messen das und rechnen auf Sinus hoch, bei anderen Kurvenformen falsch („True RMS“ nötig) |
| Scheitelfaktor (Crest) | û/U_eff ≈ 1,414 | Bei Schaltnetzteil-Stromaufnahme leicht 3 und mehr |
230 V sind 325 V. Das Netz führt 230 V Effektivwert, also û = 325 V, U_ss = 650 V. Jeder Gleichrichter lädt seinen Elko auf rund 325 V. Deshalb stehen dort 400-V-Typen, und deshalb ist „nur 230 V“ kein Grund zur Entwarnung.
R, L und C bei Wechselstrom
Widerstand R
Strom und Spannung in Phase; frequenzunabhängig.
Z = R
Kondensator C
Strom eilt der Spannung um 90° voraus; je höher f, desto niederohmiger.
Z = 1/(jωC), X_C = 1/(ωC)
Spule L
Strom eilt der Spannung um 90° nach; je höher f, desto hochohmiger.
Z = jωL, X_L = ωL
Merkhilfe: „Induktivität: I kommt danach.“ Beim Kondensator umgekehrt: Erst muss Ladung hinfließen, dann steht Spannung an den Platten.
Zeigerbild und komplexe Rechnung
u = L·di/dt → U = jωL·I i = C·du/dt → I = jωC·U Euler: ejωt ableiten ergibt denselben Ausdruck mal jω. Differentialgleichungen werden Multiplikationen. Ab hier gelten alle Gleichstromregeln unverändert (Reihe, Parallel, Teiler, Thévenin), nur komplex. Dieselbe Idee steckt hinter der Laplace-Transformation (s statt jω) in Regelung → Modellbildung.
U_ges = √(U_R² + U_L²) tan φ = X_L / R Reihenschaltung: alle Zeiger auf den Strom bezogen; parallel: auf die Spannung, Ströme addieren.
Die Falle: Teilspannungen addieren sich nicht arithmetisch. 80 V an R plus 60 V an L ergeben 100 V gesamt, nicht 140 V.
| Form | Schreibweise | Gut für |
|---|---|---|
| Kartesisch | Z = R + jX | Addition (Reihenschaltung) |
| Polar | Z = |Z|·ejφ bzw. |Z| ∠ φ | Multiplikation und Division (Teiler, Übertragungsfunktionen) |
| Umrechnung | |Z| = √(R²+X²), φ = arctan(X/R); R = |Z|·cos φ, X = |Z|·sin φ | Zwischenrechnung in der Form, die der Operation entspricht |
Impedanz und Frequenzgang
Reihen-RLC bei einer Frequenz
| Schaltung | Verhalten | Grenz-/Resonanzfrequenz | Wofür |
|---|---|---|---|
| RC-Tiefpass (R längs, C nach Masse) | H(jω) = 1/(1 + jωRC); hohe Frequenzen werden kurzgeschlossen | f_g = 1/(2πRC) | Entstören, Glätten, Antialiasing |
| RC-Hochpass (C längs, R nach Masse) | Gleichanteil wird geblockt | f_g = 1/(2πRC) | Signalkopplung ohne DC |
| RL-Tiefpass | wie RC, mit Spule längs | f_g = R/(2πL) | Versorgungsfilter, Motorleitungen |
| Reihenschwingkreis | minimale Impedanz bei Resonanz | f₀ = 1/(2π√(LC)) | Saugkreis, Bandpass |
| Parallelschwingkreis | maximale Impedanz bei Resonanz | f₀ = 1/(2π√(LC)) | Sperrkreis, Oszillator |
An der Grenzfrequenz: Amplitude auf 1/√2 (−3 dB), Phase −45°; darüber fällt ein RC-Glied mit 20 dB/Dekade. Beispiel: R = 1 kΩ, C = 100 nF → f_g = 1,59 kHz. Bode-Diagramme und Filterentwurf: Filter & Frequenzgang.
Ortskurven und der Übergang zu s
- Ortskurve: Weg einer komplexen Größe, wenn ein Parameter (meist f) durchfahren wird. Für den RC-Tiefpass ein Halbkreis von 1 (voller Durchgang) in den Ursprung.
- Nyquist-Diagramm der Regelungstechnik ist genau so eine Ortskurve. Aus der Lage zum Punkt −1 liest man Stabilität ab: Regelung → Stabilität.
- s = σ + jω: Laplace erweitert jω um einen Dämpfungsanteil und beschreibt auch das Einschwingen. σ = 0 gesetzt, ist man wieder beim Frequenzgang. Wer jω verstanden hat, hat die halbe Regelungstechnik im Gepäck.
Quellen
- Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 2, Kapitel Wechselstromtechnik und komplexe Rechnung.
- Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1 (komplexe Zahlen), Band 2 (Laplace).
- All About Circuits: AC Circuits; MIT OCW 6.002.
- Falstad Circuit Simulator: zeigt Phasenverschiebung und Zeigerbilder live im Browser.
05 / 06Leistung & Drehstrom
Bei Wechselstrom zerfällt Leistung in drei Teile: Wirkleistung P wird zu Wärme, Licht oder Bewegung, Blindleistung Q pendelt zwischen Quelle und Bauteil hin und her, Scheinleistung S ist das, was die Leitung aushalten muss. Drehstrom hängt drei solche Systeme um 120° versetzt zusammen. Dann wird die Momentanleistung konstant und der Neutralleiter stromlos.
Das Leistungsdreieck
P = U·I·cos φ · Q = U·I·sin φ · S = U·I = √(P² + Q²) P in Watt (W), Q in Var (var), S in Voltampere (VA). Physikalisch dieselbe Einheit, bewusst verschieden benannt.
| Größe | Was sie beschreibt | Praktische Folge |
|---|---|---|
| Wirkleistung P | Wird im Bauteil in eine andere Energieform umgesetzt und kommt nicht zurück | Nur sie steht auf dem Zähler eines Haushalts |
| Blindleistung Q | Fließt zweimal je Periode zur Last und zurück: Energie für Felder in L und C | Verrichtet keine Arbeit, erwärmt aber die Leitung auf dem Weg |
| Scheinleistung S | Produkt der Effektivwerte | Danach werden Trafo, Kabel, Sicherung und USV ausgelegt. „1000 VA“ ist nicht 1000 W |
Warum ein 1000-VA-Notstromgerät nur 700 W liefert: Die VA-Angabe ist die Belastungsgrenze der Elektronik. Wie viel davon als Wirkleistung ankommt, bestimmt der Leistungsfaktor der Last, bei cos φ = 0,7 eben 700 W. Dieselbe Rechnung gilt für Trafos und Generatoren.
Leistungsfaktor und Kompensation
λ = P / S = cos φ · Verzerrungsfaktor Bei reinem Sinus ist λ = cos φ. Bei nichtlinearen Verbrauchern (Schaltnetzteil, Dimmer, Frequenzumrichter) ist der Strom kein Sinus mehr. Dann liegt λ trotz kleinem φ bei 0,5 bis 0,6.
- Aktive PFC: EN IEC 61000-3-2 begrenzt die Netzoberschwingungen; für Geräte der Klasse D über 75 W ist eine PFC-Stufe praktisch unumgänglich. Sie formt die Stromaufnahme zum Sinus und bringt λ über 0,95.
- Blindstromkompensation: Ein Kondensator parallel zur induktiven Last (Motor, Trafo, KVG-Leuchte) liefert die entgegengesetzte Blindleistung. C = P · (tan φ₁ − tan φ₂) / (ω · U²), Ziel meist cos φ₂ = 0,95.
- Warum sich das rechnet: Im Industrietarif wird Blindarbeit abgerechnet; zusätzlich sinkt der Leiterstrom und damit die I²R-Verluste.
Nicht überkompensieren: Kippt die Anlage ins Kapazitive, bildet die Kompensationskapazität mit den Netzinduktivitäten einen Schwingkreis. Oberschwingungen werden dann verstärkt statt gedämpft. Deshalb regeln Kompensationsanlagen stufenweise nach, und bei hohem Oberschwingungsanteil werden die Stufen verdrosselt.
Leistung rechnen: die Fälle
| Fall | Rechnung | Achtung |
|---|---|---|
| Gleichstrom | P = U·I | Der einfache Fall |
| Sinus, ohmsche Last | P = U_eff · I_eff | Effektivwerte, nicht Scheitelwerte |
| Sinus, gemischte Last | P = U_eff · I_eff · cos φ | Ohne cos φ rechnet man sich reich |
| Drehstrom, symmetrisch | P = √3 · U_Leiter · I_Leiter · cos φ | Gilt für Stern und Dreieck gleichermaßen |
| PWM an ohmscher Last | P = P_ein · Tastgrad; U_eff = û·√Tastgrad | Bei Motoren und LEDs ist Moment bzw. Helligkeit nicht linear zum Tastgrad |
| Impulsbetrieb | P_mittel = P_peak · t_ein/T | Die höhere Impulsbelastbarkeit im Datenblatt gilt nur innerhalb der angegebenen Impulsdauer und Wiederholrate |
Wirkungsgrad
η = P_ab / P_zu P_verlust = P_zu · (1 − η) = P_ab · (1/η − 1) Beispiel: 12 V auf 5 V bei 1 A. Linearregler η = 5/12 = 42 %, Verlust 7 W (Kühlkörper). Buck-Wandler η ≈ 90 %, Verlust 0,55 W.
| Maschine / Wandler | Typischer Wirkungsgrad |
|---|---|
| Netztransformator klein (< 50 VA) | 70 bis 85 %, der Leerlaufstrom dominiert |
| Netztransformator groß | 95 bis 99 % |
| Asynchronmotor (IE3, > 1 kW) | 88 bis 95 % |
| BLDC / PMSM | 85 bis 93 % |
| Bürstenmotor, klein | 50 bis 75 % |
| Li-Ion-Zelle (Lade-/Entladezyklus) | 92 bis 97 % |
Wirkungsgradklassen für Motoren: IEC 60034-30-1, Stufen IE1 bis IE5. Wirkungsgrade von Linear- und Schaltreglern stehen bei Linear- & Schaltregler, Auslegung von Antrieben unter Regelung & Antriebe → Auslegung.
Drehstrom: warum drei Phasen
Konstante Leistung
Einphasig pulsiert die Momentanleistung mit 100 Hz und geht zweimal je Periode durch null. Symmetrischer Drehstrom summiert sich zu einem konstanten Wert. Motoren laufen ruhig und laufen von selbst an.
Weniger Kupfer
Bei symmetrischer Last ist die Summe der drei Ströme null, der Neutralleiter führt nichts. Für dieselbe Leistung braucht es deutlich weniger Leitermaterial als bei drei getrennten Wechselstromkreisen.
Drehfeld frei Haus
Drei um 120° versetzte Wicklungen erzeugen ein umlaufendes Magnetfeld, die Grundlage des Asynchronmotors, des robustesten und billigsten Motors überhaupt.
Stern und Dreieck
| Größe | Stern (Y) | Dreieck (Δ) |
|---|---|---|
| Strangspannung | U_Strang = U_Leiter/√3 → 230 V | U_Strang = U_Leiter → 400 V |
| Strangstrom | I_Strang = I_Leiter | I_Strang = I_Leiter/√3 |
| Leistung | P = √3 · U_Leiter · I_Leiter · cos φ, in beiden Fällen gleich formuliert | |
| Derselbe Motor | zieht im Dreieck die dreifache Leistung wie im Stern. Darauf beruht der Stern-Dreieck-Anlauf | |
| Neutralleiter | vorhanden, führt bei Unsymmetrie Strom | gibt es nicht |
Woher die √3 kommt: Die Spannung zwischen zwei Außenleitern ist die geometrische Differenz zweier um 120° versetzter Zeiger gleicher Länge. Das Ergebnis ist √3 mal so lang. 230 V · 1,732 = 398 V, gerundet die bekannten 400 V.
Unterbrochener Neutralleiter: Bei unsymmetrischer Last verschiebt sich der Sternpunkt, sobald N fehlt. An schwach belasteten Zweigen liegen dann bis zu 400 V statt 230 V. Angeschlossene Geräte sterben reihenweise. Deshalb darf der Neutralleiter in TN-Systemen nicht einzeln geschaltet oder abgesichert werden (DIN VDE 0100-530).
Stern-Dreieck-Anlauf
Ein Asynchronmotor zieht beim Direkteinschalten das Fünf- bis Achtfache seines Nennstroms. Der Stern-Dreieck-Anlauf startet ihn in Stern und schaltet nach wenigen Sekunden auf Dreieck.
Dafür
- Anlaufstrom auf ein Drittel reduziert, schont Netz und Vorsicherung
- Sehr einfache, billige Schützschaltung; seit Jahrzehnten bewährt
Dagegen
- Anlaufmoment sinkt ebenfalls auf ein Drittel, bei schwerem Anlauf unbrauchbar
- Beim Umschalten entsteht eine Stromspitze
- Heute meist durch Sanftanlaufgerät oder Frequenzumrichter ersetzt, der zusätzlich die Drehzahl regelt
Transformator, Kernverluste und Einschaltstromstoß stehen bei Felder, Spulen & Trafos; Frequenzumrichter und Motorregelung unter Regelung & Antriebe → Motoren.
Quellen
- Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 2, Kapitel Leistung im Wechselstromkreis sowie Drehstrom.
- EN IEC 61000-3-2: Grenzwerte für Oberschwingungsströme bei Geräten mit Eingangsstrom bis 16 A je Leiter.
- IEC 60034-30-1: Wirkungsgradklassen IE1 bis IE5 für Drehstrommotoren.
- DIN VDE 0100-530 und -540: Schalt- und Schutzgeräte, Anforderungen an Neutral- und Schutzleiter.
- Datenblätter von Texas Instruments und Analog Devices zu Buck-Reglern: gemessene Wirkungsgradkurven über den Laststrom, die einzige belastbare Quelle für konkrete Werte.
06 / 06Schaltvorgänge & Signalleitungen
Kondensator und Spule haben ein Gedächtnis, Leitungen haben eine Laufzeit. Spannung am C und Strom durch L können nicht springen. Daraus folgt jede Zeitkonstante und jede Schwingung. Und ab dem Punkt, an dem die Signallaufzeit gegen die Anstiegszeit zählt, ist ein Draht kein Draht mehr, sondern ein Bauteil mit Wellenwiderstand.
Das RC-Glied
u_C(t) = U₀ · (1 − e^(−t/τ)) mit τ = R · C Beim Entladen spiegelbildlich: u_C(t) = U₀ · e^(−t/τ). Grenzfrequenz desselben Gliedes: f_g = 1/(2πRC).
| Nach | geladen auf | entladen auf |
|---|---|---|
| 1 τ | 63,2 % | 36,8 % |
| 2 τ | 86,5 % | 13,5 % |
| 3 τ | 95,0 % | 5,0 % |
| 4 τ | 98,2 % | 1,8 % |
| 5 τ | 99,3 %, praktisch fertig | 0,7 % |
Zeitkonstante und Grenzfrequenz
- Tasterentprellung: Kontakte prellen 1 bis 20 ms. τ ≈ 10 ms plus Schmitt-Trigger-Eingang ergibt eine saubere Flanke; in Software: Zustand erst nach zwei gleichen Abtastungen im Abstand von 10 ms übernehmen.
- Reset-Verzögerung: 10 kΩ mit 100 nF → τ = 1 ms, genug bis die Versorgung stabil steht.
- Antialiasing vor dem ADC: unterdrückt alles oberhalb der Nyquist-Grenze, siehe Filter & Frequenzgang.
- Snubber: RC in Reihe, parallel zum Schalter oder zur Diode; bedämpft die Schwingung beim harten Abschalten einer Induktivität und senkt die Störabstrahlung.
Das RL-Glied und die Abschaltspitze
i_L(t) = I₀ · (1 − e^(−t/τ)) mit τ = L / R Gleiche Kurvenform wie am Kondensator. Der Unterschied liegt im Abschalten: Die Spule hält den Strom aufrecht und erzeugt dafür beliebig hohe Gegenspannung.
Freilaufdiode ist Pflicht. Relais mit 100 mH, Abschaltung von 100 mA in 1 µs: u = L·di/dt = 10 kV rechnerisch. In der Realität begrenzt der durchbrechende Transistor. Nur ist der danach kaputt. Eine antiparallele Diode über der Spule (1N4148 für kleine, 1N4007 für größere Relais) leitet den Strom sanft ab. Wo die Abfallzeit kurz bleiben muss, nimmt man eine Zenerdiode in Reihe zur Freilaufdiode und begrenzt bewusst auf einen definierten Wert.
Der Schwingkreis: RLC in Reihe
ω₀ = 1/√(LC) · D = (R/2) · √(C/L) · Q = 1/(2D) D ist der Dämpfungsgrad, Q die Güte: dasselbe von zwei Seiten beschrieben.
| Dämpfungsgrad D | Verhalten | Wo man das will |
|---|---|---|
| D = 0 | ungedämpfte Dauerschwingung | Oszillator, Schwingquarz (nur näherungsweise erreichbar) |
| 0 < D < 1 | gedämpfte Schwingung mit Überschwingen | Filter mit steiler Flanke; D ≈ 0,7 gilt als guter Kompromiss |
| D = 1 | aperiodischer Grenzfall: schnellstmöglich ohne Überschwingen | Messgeräte, Positionierantriebe |
| D > 1 | Kriechfall: kein Überschwingen, aber langsam | Wo Überschwingen teuer ist: Fahrstuhl, Werkzeugzustellung |
Dieselbe Mathematik, anderes Fach. Diese drei Kurven sind das PT2-Glied der Regelungstechnik und das Feder-Masse-Dämpfer-System der Mechanik. Ein RLC-Kreis, ein Stoßdämpfer und ein geregelter Positionierantrieb gehorchen derselben Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Einschaltströme
Ein leerer Kondensator ist im ersten Moment ein Kurzschluss. Bei 1000 µF Ausgangselko, 12 V und 50 mΩ Gesamtwiderstand aus Quelle und ESR sind das rechnerisch 240 A Spitze. Kurz, aber genug, um Schaltkontakte zu verschweißen.
- NTC-Begrenzer in Reihe: kalt hochohmig, warm niederohmig. Billig, aber beim schnellen Wiedereinschalten wirkungslos, weil noch heiß.
- Vorladewiderstand mit Relais-Überbrückung: der saubere Weg bei größeren Anlagen und in der Antriebstechnik.
- Soft-Start im Regler: Der Wandler fährt die Ausgangsspannung in Millisekunden hoch, statt sie zuzuschalten. Bei modernen Schaltreglern ist das eingebaut.
- Trafo-Einschaltstoß: eigene Ursache (Remanenz + Sättigung), 10 bis 40 × Nennstrom, siehe Felder, Spulen & Trafos.
Querschnitt, Belastbarkeit und Spannungsfall von Leitungen mit 50 Hz und Gleichstrom stehen unter Elektrotechnik → Kabel & Querschnitt, dort auch mit Rechner. Hier geht es darum, was Leitungen bei hohen Frequenzen und schnellen Flanken tun.
Skin- und Proximity-Effekt
δ ≈ 66 mm / √(f in Hz)Eindringtiefe in Kupfer: Dort ist die Stromdichte auf 37 % gefallen.
| Frequenz | δ in Kupfer | Konsequenz |
|---|---|---|
| 50 Hz | 9,3 mm | nur bei Sammelschienen und dicken Kabeln relevant |
| 1 kHz | 2,1 mm | bei üblichen Querschnitten kaum spürbar |
| 100 kHz | 0,21 mm | Schaltnetzteil-Drosseln: HF-Litze statt Volldraht |
| 1 MHz | 0,066 mm | Leiterbahndicke reicht bei Weitem, die Breite zählt |
| 1 GHz | 2,1 µm | Oberflächenrauheit der Kupferfolie beeinflusst die Dämpfung |
Dazu kommt der Proximity-Effekt: Benachbarte Leiter mit Wechselstrom verdrängen den Strom zusätzlich. In dicht gewickelten Spulen erhöht er den Wechselstromwiderstand oft stärker als der Skin-Effekt allein. Deshalb HF-Litze aus vielen dünnen, gegeneinander isolierten und verdrillten Einzeldrähten.
Wellenwiderstand und Schirmung
kritische Länge ≈ t_r · v / 6 t_r = Anstiegszeit, v ≈ 15 cm/ns auf FR4-Innenlagen, ≈ 18 bis 20 cm/ns auf Außenlagen. 1 ns Anstiegszeit ergibt rund 2,5 cm. Nicht die Taktfrequenz entscheidet, sondern die Flankensteilheit.
| Leitungstyp | Wellenwiderstand | Wo |
|---|---|---|
| Koaxial RG-58 | 50 Ω | Messtechnik, HF, Tastkopfzuleitungen |
| Koaxial RG-59 / RG-6 | 75 Ω | Video, Antennentechnik |
| Twisted Pair (Cat 5e/6) | 100 Ω differentiell | Ethernet, RS-485; USB 90 Ω |
| Microstrip auf FR4 | 50 Ω bei passender Breite | Leiterplatten-Signalleitungen |
| CAN-Bus | 120 Ω, an beiden Enden abgeschlossen | Fahrzeug- und Industriebus |
Verdrillen
- Wirkt gegen magnetische Einkopplung: Die in aufeinanderfolgenden Schlaufen induzierten Spannungen haben abwechselndes Vorzeichen und heben sich auf
- Kostet nichts, hilft auch bei simplen Sensorleitungen
Schirmen
- Wirkt gegen elektrische Einkopplung, ab höheren Frequenzen auch magnetisch
- Niederfrequente Analogsignale: Schirm einseitig auflegen (sonst Brummschleife)
- HF und digitale Busse: beidseitig auflegen
Die wirksamste Einzelmaßnahme: Hin- und Rückleiter dicht beieinander führen. Die eingeschlossene Schleifenfläche bestimmt, wie gut eine Leitung Störungen aufnimmt und abstrahlt. Eine durchgehende Massefläche unter jeder Signalleitung erledigt das automatisch. Mehr dazu unter EMV, Masse & Entkopplung und Leiterplatte → Signalintegrität.
Quellen
- Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 2, Kapitel Ausgleichsvorgänge.
- Horowitz & Hill, The Art of Electronics, 3rd ed.: RC-Zeitkonstanten, Snubber, Leitungsreflexionen.
- DIN VDE 0298-4 (Strombelastbarkeit nach Verlegeart) und DIN VDE 0100-520 (Kabel- und Leitungsanlagen).
- Howard Johnson, Martin Graham, High-Speed Digital Design: kritische Länge und Reflexionen.
- Henry W. Ott, Electromagnetic Compatibility Engineering, Wiley: Schirmung, Verdrillung, Rückstrompfade.
- Falstad Circuit Simulator: die drei Dämpfungsfälle in einer Minute selbst erzeugt.
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